Mattesvårigheter beror ofta på brister i grundläggande taluppfattning.

Finn din matteglädje! genom att räkna på abakus

Klicka här nedan för att se film från en abakuslektion i Peking

Klicka här för att läsa en del japansk forskning om abakusen. abakusforskning.html

 Om du inte har en egen abakus men vill prova att använda den kan du klicka här!

 Några kommentarer från lärare som deltagit i kursen Finn din matteglädje:

"En mycket bra och väl genomförd kurs, man var aktiv hela tiden men tiden gick alldeles för fort.

"Ett jättestort tack för en fantastisk dag" AC  - högskolelektor i matematik

"Roligt att lära något så radikalt nytt efter så många år i skolan" ML - specialpedagog mellanstadiet

"Den här metoden passar förmodligen alldeles utmärkt till en av mina nuvarande elever som fortfarande räknar på fingrarna och inte kan ta till sig några skriftliga räknemetoder." LN - lärare åk 4-5

”Det är som om kulorna har kommit in i mitt huvud!”

Så säger en kvinnlig elev som haft mycket svårt att klara grundskolans matematik och därför tillbringat två terminer på Individuella programmet. När hon till slut fick möjlighet att lära sig abakusen och använda det nya läromedlet ”Finn din matteglädje!” intensivt under 6 veckor utvecklades hennes matematiska förmåga så bra att hon kunde klara hela grundskolans kurs på 13 veckor.

Vad är det då som är så fantastiskt med abakusen.

·         man befäster viktiga delar av grundläggande taluppfattning. 

·         man utvecklar förmågan att se inre bilder. Elever som ofta tränar på abakus kan uppleva att de kan se kulorna för sitt ”inre” öga.  Man kan uppleva att man räknar på en ”virtuell räkneram” genom att bara röra fingrarna på samma sätt som om man hade en riktig abakus.

·         Problem med kropps- och rumsuppfattning samt motoriska svårigheter är något som många elever med matematiksvårigheter uppvisar. Det kan exempelvis ta sig uttryck i att man har svårt med riktningar och lägesplaceringar. Således blir det svårt att uppleva platsvärden, tallinjen och andra grundläggande begrepp. Det kan även resultera i omkastningar och/eller spegelvändningar av siffror och bokstäver

·         abakusen utvecklar således visuell, spatial och som motorisk förmåga dvs ”högerhjärneaktiviteter”, samtidigt som den aktiverar ”vänsterhjärneförmågor” som matematisk-, logisk- och språklig kompetens.

·         Abakusen engagerar flera sinnen. På så vis är man garanterad att undervisningen når in via elevens starkaste kanal samtidigt som de svagare tränas.

·         Eleven betraktar alltid siffran kopplad till dess platsvärde. Därmed grundläggs en djupgående förståelse för decimalsystemets funktion.

·         Många elever har svårt att automatisera tabellkunskaper på traditionellt sätt. En orsak till detta kan vara att man har språkliga svagheter. När du räknar på abakus aktiveras också ”muskelminnen.” På så vis ges dessa elever en alternativ möjlighet att nål dessa färdigheter.

·         Huvudräkningsförmågan utvecklas.

Släpp fångarna loss! - Algoritmen stänger in tänkandet

När vi räknar med hjälp av algoritmer börjar vi från höger med entalen. När vi räknar på abakusen och när vi språkligt uttrycker tal börjar i stället från vänster. När vi räknar talet ”123+245” på abakusen börjar vi med 1 hundratal plus 2 hundra tal vilket ger 3 hundratal. Sedan tänker vi 2 tiotal plus 4 tiotal vilket ger 6 tiotal. Till slut 3 ental plus 5 ental vilket ger 8 ental. När vi läser av summan börjar vi från vänster och summerar 3 hundra(tal)sex-tio(tal)8(ental). Man lär sig således tänka på siffrornas platsvärden i samma ordning som de representeras i talet. På så vis blir det lättare för eleven att utveckla den språkliga förståelsen för matematiken.

Abakusen utvecklar huvudräkningen

Abakusen ger också bättre förutsättningar att utveckla effektiv huvudräkning. Många människor försöker se algoritmen i sitt inre när de ska huvudräkna. Detta tankesätt belastar arbetsminnet i allt för hög grad och är således en ineffektiv metod. Abakusräkning ger betydligt bättre redskap för att utveckla effektiv huvudräkning. Eleven kan in sitt inre se och även med fingrarna känna de ”virtuella kulorna”

Matematikproblem bottnar ofta i brister kring grundläggande taluppfattning.

Inom traditionell pedagogik läggs mycket kraft på att öva tabellkunskaper. Automatiserade tabellkunskaper anses av många pedagoger vara kungsvägen till att utveckla högre matematiska färdigheter.

Begreppet grundläggande taluppfattning innehåller dock många olika delar. Bara för att man exempelvis lärt sig att säga att 6 och 4 är tiokamrater är det inte säkert att man egentligen har förstått vad detta innebär. Eller bara för att man lärt sig ställa upp en algoritm, är det inte säkert att man verkligen har förstått vad man gör. Man kan klara detta genom att lära sig flytta siffror enligt ett visst mönster.

En egenskap som anses tillhöra grundläggande  taluppfattning är att förstå att en siffra kan symbolisera ett antal, ett ordningstal, ett mått, en beteckning på något etc.  För att verkligen förstå att en siffra kan symbolisera ett antal måste man också förstå siffrornas platsvärden. Om man inte har gjort det kan man, som jag har stött på i undervisningen, tolka talet ”55” som ”10”, det vill säga eleven har inte förstått att femman till vänster representerar 5 tiotal. Således tolkar han ”55” som ”5+5” ental.  När man räknar på abakus pratar man till en början högt med sig själv och uttrycker klart vad man gör. Även tiotalsövergångar blir tydliga genom ”växling”.

Vidare hjälper abakusen eleven att ta steget från det konkreta till talsymboliken genom att han lär sig förstå hur en kula på abakusen ”byter innehåll” beroende på om den står under mittbalken, då den representerar 1, 10, 100…etc eller ovanför mittbalken, då kulan representerar 5, 50, 500…etc 

Matematisk förmåga är beroende av god rumslig medvetenhet

För att kunna utveckla en god matematisk förmåga måste man vara säker på rumsliga riktningar och lägen. I annat fall kan man få svårt att grundlägga förståelsen för siffornas platsvärden och även tallinjens koppling till räknesätten. I arbetet med abakusen används fingermotoriken som också kopplas till språkliga begrepp. Därmed tränas även kropps- och rumsuppfattningen. På så vis utvecklas även förmågor som i sin tur ligger till grund för att kunna lära sig andra sekventiella kunskaper som exempelvis veckans dagar, månaderna, årstiderna, alfabetet, klockan etc.

Komplementära tal och talgestalter

En annan insikt som räknas till grundläggande taluppfattning är förmågan att dela upp talen upp till 10 i delmängder.  (Exempel 6= 1+5, 2+4, 3+3) När man räknar på abakusen lär man sig att se och också känna dessa delmängder. När man exempelvis ska lägga talet ”8”, bestämmer man först vilka delmängder som ska ingå, sedan tittar man var man ska sätta tumme (för att föra upp rätt antal underkulor) och pekfingret (för att föra ner överkulan). Man utför sedan en samtidig rörelse med tumme och pekfinger där man lägger 3+5. Efter en tids övning går detta automatiskt och elever som varit vana att räkna addition och subtraktion på fingrarna (ett finger i taget) , brukar sluta med detta då de lärt sig uppleva en ”talgestalt” både motoriskt och visuellt. Detta stärker också en av de mest grundläggande matematiska förmågorna vi har, nämligen förmågan till subitisering dvs. förmågan att i en blink se talgestalter upp till 5 eller 6 enheter.

Att lära sig se sambandet mellan addition och subtraktion

När man räknar addition på abakus använder man samtidigt subtraktion och vise versa. När man exempelvis ska räkna ut 4+3 lägger man upp fyra entals”underkulor”. Man ska sedan lägga till 3. På den undre raden finns nu bara 1 entalskula kvar. Således för man istället till en överkula som representerar 5 (underkulor).  Man skulle lägga till ”3” och har således lagt till 2 för mycket. Man tar då bort 2 underkulor (ental) och får 5+2 =7 kulor på entalsraden kvar. Tillvägagångssättet brukar upplevas krångligt till att börja med, men efter en tids övning automatiseras delmängderna i talen och även tankesättet att dela upp proceduren i små deloperationer. Att dela upp operationerna i delmängder underlättar också utvecklandet av effektiva huvudräkningsstrategier som inte belastar arbetsminnet för mycket.

Hjärnans topografi stöder fingerräkning.

Till att börja med kan det vara effektivt att illustrera delmängderna och ”subtraktion vid addition” genom att använda fingerräkning. När man som i exemplet ovan lägger till 3 genom att lägga till 5 och ta bort 2, kan man ta stöd i fingerräkning. När man lägger på 5 kan man illustrera detta för sig själv genom att lägga upp ena handen och sedan dela upp 5 i delmängderna 3+2 genom att ta tag i tre av fingrarna och säga: ”Jag skulle lägga till 3. Då har jag lagt till 2 för mycket.” Därefter tar man bort 2 underkulor. Så småningom har man automatiserat såväl fingergreppet som tankesättet för de olika deloperationerna. Detta blir ”tyst kunskap” i likhet med andra teknisk-mekaniska kunskaper, som att knyta skorna, skriva en bokstav eller liknande.

En del forskare anser också att de delar av hjärnan, framför allt områden i vänster frontallob, där väsentliga ”matematiska moduler” har sitt säte, är nära förbundna med de delar som styr handens motorik. Därmed menar de att det finns neurologiska fördelar med att aktivera handen när man bygger matematiska färdigheter.

Det empiriska alternativet

Jean Piaget, pedagogisk forskare, och filosofen P. Kitchner menar att alla föreställningar och begrepp är härledda ur sinneserfarenheter. Att abstrakta föreställningar byggs upp genom generaliseringar av många enskilda erfarenheter. Att arbeta på abakusen ligger väl i linje med detta synsätt.

Omvandling av enheter är ett problem för många.

Genom att så småningom koppla abakusen till längd-, volym och viktenheter kan man på ett enkelt och handfast sätt lära sig omvandla enheter, förstå de matematiska prefixen, decimaltecknets funktion, procent mm.

Multiplikation

Abakusen är ett utmärkt pedagogiskt verktyg för att förstå hur multiplikation egentligen är upprepad addition.

Algoritmer

Genom att koppla inlärning av algoritmer till arbetssättet på abakusen lär sig eleven lättare att förstå funktionen hos algoritmerna.

Abakusräkning i praktisk undervisning – Finn din matteglädje!

För vem passar det att träna abakusräkning?

Bäst är att börja vid tidig ålder. 4-12 år brukar räknas om optimalt i de länder där abakusen har använts under lång tid. Den passar dock för barn såväl som ungdomar och vuxna som vill utveckla sin matematiska förmåga. Abakusen är ett utmärkt sätt för elever, som misslyckats med matten, att övervinna sitt motstånd och hitta matteglädjen.

Eftersom arbetssättet bygger en väl förankrad uppfattning kring grundläggande matematiska begrepp som utgör basen för den senare utvecklingen, får elever som möter detta i de tidiga skolåren, bättre förutsättningar att lyckas.

Jag som skriver detta har under lång tid tillämpat och utvecklat detta arbetssätt med ungdomar och vuxna som har stora matematiksvårigheter (och många gånger även läs- och skrivsvårigheter). Jag har sett de enastående resultat som arbetet haft och därför har jag nu samlat mitt material i form av ett läromedel bestående av arbetsblad/elevhäfte med uppgifter och abakusar i två olika storlekar. För att ge varje elev möjlighet att gå fram i sin egen takt finns övningarna dokumenterade som videofilmer där eleven kan se hur man arbetar. Videofilmerna är i Flashformat och är anpassade att läggas upp som en hemsida på en server så att eleverna kan nå den från vilken dator som helst.

Olika faser i arbetssättet

Inledning – legenden om matematikens födelse

Som nämnts ovan är det fördelaktigt att börja med de första delarna av materialet på förskola eller lågstadium. Man bör inte starta direkt med tillämpning av abakusträning, utan att först ha gått igenom ”Legenden om matematikens födelse.”  Här har jag vävt ihop några av de skeden som matematiken genomgått till en saga eller legend. Genom att berätta denna för eleverna och iaktta om de kan tillämpa de olika uppgifter som presentas, försäkrar man sig om att de har förstått den grundläggande kopplingen mellan antal och siffror samt positionssystemets funktion. Vidare introduceras också nollan och dess funktion. 

Börja räkna på abakusen

När man försäkrat sig om att eleverna har grepp om de föregående stegen är det dags att introducera abakusen. Vi börjar med att lära oss räkna till 20. På så vis ser eleven hur en kula kan representera 1 ( en underkula på entalsraden), 5 ( en överkula på entalsraden) eller 10 ( en underkula på tiotalsraden).

 Under den första tiden ägnar man sig sedan åt additioner med ensiffriga tal. På så sätt får eleven en god känsla för hur vi delar upp talen upp till 10 i delmängder, hur dessa känns i ”tumme-pekfingergreppet”. Vidare bygger också eleven insikten om hur addition och subtraktion hänger samman. Även då använder vi fingerräkning på så sätt att när vi exempelvis ska räkna talet 3+4, görs detta genom att vi för upp 3 ”underkulor” med tummen och sedan drar ner (aktiverar) en överkula med pekfingret. Överkulan representerar 5 underkulor. Eleven lägger upp en hand och visar 5 fingrar och säger ”Jag har lagt dit 5 men skulle lägga på 4 (varvid han skiljer ut 4 fingrar). Då har jag lagt på 1 för mycket”. Eleven drar bort en underkula. Aktiva är då 1 överkula och 2 underkulor, dvs 5+2. Eleven avläser sedan resultatet ”7”.

Nästa steg är så additioner med tiotalsövergångar. Här lär sig eleven först den ”omständliga vägen” att addera på abakusen. Exempelvis additionen 7+4. Eleven bestämmer sig först hur många kulor han ska aktivera genom att titta och sedan helst med en samtidig rörelse av tumme och pekfinger aktivera 1 överkula och 2 underkulor (5+2). Därefter ska eleven lägga på 4. Eftersom det bara finns 5 kulor på den nedre raden och han redan använt 2, måste han lägga till 4 genom att dra ner ytterligare en överkula (5) och ta bort 1 underkula (5-1=4). Eleven har nu 2 överkulor (5+5) som kan växlas mot en underkula i spalten direkt till vänster (=10). Eleven säger: ”Jag växlar 2 femmor (och för upp dessa) mot en tia (varvid eleven för upp en ”10-kula”). Eleven läser sedan av resultatet: 1 tiokula samt 1 kula, vilket ger 11. En stor vinst med grundläggande matematikundervisning via abakusräkning är att man alltid betraktar siffran kopplat till dess placering i positionssystemet. En annan fördel är att eleven både ser, gör och hör sig själv säga vad han gör. På så vis förankras den grundläggande förståelsen på många plan samtidigt. I min undervisning möter jag elever som har matematiska svårigheter på såväl visuellt som språkligt plan. Att då samtidigt förstärka inlärningen motoriskt brukar vara ett sätt att komma runt detta problem och så småningom ”flytta in kulorna i huvudet”, som en elev uttryckte det.

När eleven automatiserat växlingarna ”den omständliga vägen” brukar de sedan av sig själva komma på att man kan gå en genväg och utföra en del av operationen i huvudet. De kommer då på att man kan utföra additionen 7+4 genom att istället lägga till en tio-kula. De lägger upp båda händerna och säger: ”Jag har lagt till 10 men skulle lägga till 4”. (Samtidigt skiljer de ut 4 fingrar.) ”Då har jag lagt till 6 för mycket”. De tar bort en 5-kula + en 1-kula. De har alltså utfört operationen ”7+4” genom att ändra den till ”7+10-6”. För att automatisera de här operationerna bör man arbeta en 15-20 minuter om dagen på abakusen under 1-2 månader. Det är naturligtvis individuellt hur snabbt man når ”fulländning”. Eftersom materialet finns som filmer är det dock goda möjligheter att variera.

Det är också bra om eleverna får konstruera egna övningsexempel och inte nöjer sig med det material som finns.

Nästa del är subtraktion.

Även här utvecklar eleven förmågan genom att först gå ”den omständliga vägen” via vad jag kallar för ”bakåtväxling”, vilket i själva verket är ”lånet” i subtraktionsalgoritmen. Om jag exempelvis ska utföra 10-7, gör eleven detta genom att först föra upp en underkula på andra spalten att sedan säga: ”Jag baklängesväxlar 1 tia (för ner/tar bort underkulan) till 2 femmor” (för ner/aktiverar 2 femmor). Vidare: ”Jag baklängesväxlar en femma till fem ettor”). Nu har eleven sätt tre olika sätt att visa talet 10 dvs som 10, 5+5 eller 5+1+1+1+1+1. Nu är det enkelt att ta bort 7. Eleven beslutar hur mycket han ska ta bort och för sedan med en rörelse av tumme och pekfinger bort 2 underkulor och  den enda överkulan och avläser sedan resultatet ”3”. När denna nivå är avklarad följer sedan mer avancerade addition och subtraktion.

Enheter och decimaltal

Därefter kopplas så elevens kunskaper kring abakusen till längd, volym och viktenheter. Även här kopplas kroppsliga och rumsliga upplevelser till matematikutvecklingen. Nu börjar entalsspalten att ”flyta” , eftersom vi behöver enheter som är mindre än ett. Därmed tas nästa steg i symboliken.

De matematiska prefixen ”deci”, ”centi”, ”milli”, och om så behövs även ”mikro”, skrivs på en tejp som fästs ovanför de aktuella spalterna och abakusen används nu som stöd för uträkningar och omvandlingar. Om eleven arbetat under tillräckligt lång tid för att bli riktigt säker på tiotalsövergångar i addition och subtraktion med ental och större, är det nu lätt att förstå decimaltalen och prefixens betydelse och funktion.

Additions- och subtraktionsalgoritmerna

Algoritmernas användning kan också med fördel kopplas till hur man gör uträkningen på abakusen. Istället för att inlärandet av algoritmen blir ett sätt att ”flytta siffror på ett papper enligt ett visst mönster”, förstår eleven genom erfarenheterna från abakusen algoritmens funktion på djupet. Eleven förstår exempelvis bättre funktionen av minnessiffror och lån. Som nämnts ovan åskådliggör man med fördel också multiplikationens idé på abakusen.

Sammanfattningsvis kan man säga att erfarenheterna från användningen av arbetssättet så här långt är mycket lovande. Jag har själv använt det med ungdomar, barn och vuxna samt en årskurs 5 för många år sedan. Just nu arbetar jag även som speciallärare på ett gymnasium där jag jobbar med abakusräkning tillsammans med en grupp omvårdnadselever som tycker att medicinmatematiken är svår. Framför allt ställer omvandlingar till problem för dessa elever. Så här långt är även dessa erfarenheter mycket positiva.

Utredning av matematiksvårigheter

Matematiska svårigheter av den graden att man skulle kunna kalla det för dyskalkyli förekommer ofta tillsammans med läs- och skrivsvårigheter/dyslexi, speciellt om det finns svårigheter med rumsuppfattning och/eller motoriska problem.

Vanliga tecken på mattesvårigheter (ev dyskalkyli) kan vara att man
- har svårt att lära sig tabeller utantill
- att man räknar på fingrarna
- har svårt att veta hur mycket pengar man ska ha tillbaka i affären
- svårt med decimaltal och omvandlingar av enheter
- svårt att lära sig klockan
-osäkerhet kring riktningar
- svårt med tidsuppfattning
- svårt att planera och organisera

Jag använder mig av ett egetutvecklat, datoriserat test samt Björn Adlers material för utredningen. I utredningen får du reda på hur svårigheterna och även styrkorna fördelar sig. Utredningen ger ett bra underlag för planering av träningsåtgärder. Om du vill handleder jag dig som förälder eller lärare i arbetet. Vi använder bland annat materialet Finn din matteglädje!

Educational App Store - recension av appen Mental Abacus Expert

Sammanfattning:

Du har kanske hört talas om användningen av kulram eller soroban i vissa länder och de imponerande matematiska kunskaper som abakusträning kan ge. Denna app erbjuder möjligheten att utveckla dessa färdigheter.

EAS omdöme:

Vi har inte sett mycket av abakusanvändning i brittiska skolor, men denna ligger till grund för helt fenomenala aritmetiska färdigheter i andra delar av världen. Kanske kan abakusen vara något du vill presentera för din skola eller ditt barn. Det är lätt att förstå hur abakusen fungerar. Med lite övning kan den användas för att göra beräkningar och synliggöra av aritmetiska processer.

Med lite mer övning kan man till och med lära sig använda en inre, mental bild av abakusen. På denna inre, mentala abakus kan användaren lära sig räkna snabbare än en miniräknare. Bara små fingerrörelser antyder att användaren utnyttjar en mental abakus för beräkningarna.

I länder som verkligen uppskattar abakusen är användningen av den är en del i läroplanen. Hur kan då vi som inte känner till abakusen lära känna detta verktyg och introducera våra studenter och barn i detta? Ironiskt nog för detta effektiva, men klart lågteknologiska verktyg, finns en lösning  i den högteknologiska världen av program. En sådan är appen Mental Abacus Expert. Appen ger vem som helst möjligheten att börja lära sig och så småningom behärska den mentala abakusen.

Appen  innehåller allt du behöver för att lära sig. De fyra omfattande övningstyperna har instruktionsfilmer som stöd. Användarna lär sig uppfatta och tolka siffrorna på abakusen innan de går vidare till att göra beräkningar. Övningarna ger möjlighet för användaren att lära sig använda så väl en fysisk som en mental abakus för att göra uträkningar.  I den fjärde övningstypen  kan användaren träna på liknande sätt som deltagare i mentala abakustävlingar gör. Här ger också appen talade instruktioner.

Förutom övningarna finns också en inbyggd abakus som lärare, föräldrar eller elever kan använda för andra beräkningar.

Appen har lättförståeliga skrivna instruktioner. Det finns också en avdelning med välgjorda videofilmer. Dessa öppnas i YouTube. Det gör att du måste ha internetuppkoppling för att kunna se dem. Inga andra delar av appen kräver uppkoppling. Man kan välja på två abakustyper i appen. En klassisk 5+2 och den modernare 4+1.

Övningarnas svårighetsgrad kan anpassas till användarens förmåga. Stegvis kan utmaningen ökas.

Appen är enkel att använda och visar abakusens funktion tydligt. Du trycker bara till på kulorna för att flytta dem.  

Appen når mycket väl upp till sina mål och är trevlig att använda. Appen  ger användarna möjlighet att gradvis utveckla sina färdigheter. Precis som vilken färdighet som helst krävs det övning för att utvecklas. Med regelbunden träning med hjälp av appen har användaren möjlighet att nå höga kunskapsmål.

Föräldrar som vill ha ett kul och utvecklade matteprojekt med sina barn, lärare som vill ge möjlighet till annorlunda överkursuppgifter eller matematiskt intresserade elever som vill utveckla imponerande mattefärdigheter, kan använda denna app.

en.