Räkna med abakusen

Algoritmen stänger in tänkandet
Abakus

Abakusen ger många fördelar.

När vi räknar med hjälp av algoritmer börjar vi från höger med entalen. När vi räknar på abakusen och när vi språkligt uttrycker tal börjar i stället från vänster. När vi räknar talet ”123+245” på abakusen börjar vi med 1 hundratal plus 2 hundra tal vilket ger 3 hundratal. Sedan tänker vi 2 tiotal plus 4 tiotal vilket ger 6 tiotal. Till slut 3 ental plus 5 ental vilket ger 8 ental. När vi läser av summan börjar vi från vänster och summerar 3 hundra(tal)sex-tio(tal)8(ental). Man lär sig således tänka på siffrornas platsvärden i samma ordning som de representeras i talet. På så vis blir det lättare för eleven att utveckla den språkliga förståelsen för matematiken.

Abakusen utvecklar huvudräkningen

Abakusen ger också bättre förutsättningar att utveckla effektiv huvudräkning. Många människor försöker se algoritmen i sitt inre när de ska huvudräkna. Detta tankesätt belastar arbetsminnet i allt för hög grad och är således en ineffektiv metod. Abakusräkning ger betydligt bättre redskap för att utveckla effektiv huvudräkning. Eleven kan in sitt inre se och även med fingrarna känna de ”virtuella kulorna”

Matematikproblem bottnar ofta i brister kring grundläggande taluppfattning.

Att lära sig räkna abakus är kul.

Begreppet grundläggande taluppfattning innehåller dock många olika delar. Bara för att man exempelvis lärt sig att säga att 6 och 4 är tiokamrater är det inte säkert att man egentligen har förstått vad detta innebär. Eller bara för att man lärt sig ställa upp en algoritm, är det inte säkert att man verkligen har förstått vad man gör. Man kan klara detta genom att lära sig flytta siffror enligt ett visst mönster.

En egenskap som anses tillhöra grundläggande  taluppfattning är att förstå att en siffra kan symbolisera ett antal, ett ordningstal, ett mått, en beteckning på något etc.  För att verkligen förstå att en siffra kan symbolisera ett antal måste man också förstå siffrornas platsvärden. Om man inte har gjort det kan man, som jag har stött på i undervisningen, tolka talet ”55” som ”10”, det vill säga eleven har inte förstått att femman till vänster representerar 5 tiotal. Således tolkar han ”55” som ”5+5” ental.  När man räknar på abakus pratar man till en början högt med sig själv och uttrycker klart vad man gör. Även tiotalsövergångar blir tydliga genom växling.

Vidare hjälper abakusen eleven att ta steget från det konkreta till talsymboliken genom att han lär sig förstå hur en kula på abakusen ”byter innehåll” beroende på om den står under mittbalken, då den representerar 1, 10, 100…etc eller ovanför mittbalken, då kulan representerar 5, 50, 500…etc

Matematisk förmåga är beroende av god rumslig medvetenhet

För att kunna utveckla en god matematisk förmåga är det fördelaktigt om man är säker på riktningar och lägen. I annat fall kan man få svårt att grundlägga förståelsen för siffrornas platsvärden och även tallinjens koppling till räknesätten. I arbetet med abakusen används fingermotoriken som också kopplas till språkliga begrepp. Därmed tränas även kropps- och rumsuppfattningen. På så vis utvecklas även förmågor som i sin tur ligger till grund för att kunna lära sig andra sekventiella kunskaper som exempelvis veckans dagar, månaderna, årstiderna, alfabetet, klockan etc.

Komplementära tal och talgestalter

En annan insikt som räknas till grundläggande taluppfattning är förmågan att dela upp talen upp till 10 i delmängder.  (Exempel 6= 1+5, 2+4, 3+3) När man räknar på abakusen lär man sig att se och också känna dessa delmängder. När man exempelvis ska lägga talet ”8”, bestämmer man först vilka delmängder som ska ingå, sedan tittar man var man ska sätta tumme (för att föra upp rätt antal underkulor) och pekfingret (för att föra ner överkulan). Man utför sedan en samtidig rörelse med tumme och pekfinger där man lägger 3+5. Efter en tids övning går detta automatiskt och elever som varit vana att räkna addition och subtraktion på fingrarna (ett finger i taget) , brukar sluta med detta då de lärt sig uppleva en talgestalt både motoriskt och visuellt. Detta stärker också en av de mest grundläggande matematiska förmågorna vi har, nämligen förmågan till subitisering dvs. förmågan att i en blink se talgestalter på upp till 5 enheter.

Att lära sig se sambandet mellan addition och subtraktion

När man räknar addition på abakus använder man samtidigt subtraktion och vise versa. När man exempelvis ska räkna ut 4+3 lägger man upp fyra entalskulor. Man ska sedan lägga till 3. På den undre raden finns nu bara 1 entalskula kvar. Således för man istället till en överkula som representerar 5 (underkulor).  Man skulle lägga till ”3” och har således lagt till 2 för mycket. Man tar då bort 2 underkulor (ental) och får 5+2 =7 kulor på entalsraden kvar. Tillvägagångssättet brukar upplevas krångligt till att börja med, men efter en tids övning automatiseras delmängderna i talen och även tankesättet att dela upp proceduren i små deloperationer. Att dela upp operationerna i delmängder underlättar också utvecklandet av effektiva huvudräkningsstrategier som inte belastar arbetsminnet för mycket.

Hjärnans topografi stöder fingerräkning.

Till att börja med kan det vara effektivt att illustrera delmängderna och ”subtraktion vid addition” genom att använda fingerräkning. När man som i exemplet ovan lägger till 3 genom att lägga till 5 och ta bort 2, kan man ta stöd i fingerräkning. När man lägger på 5 kan man illustrera detta för sig själv genom att lägga upp ena handen och sedan dela upp 5 i delmängderna 3+2 genom att ta tag i tre av fingrarna och säga: ”Jag skulle lägga till 3. Då har jag lagt till 2 för mycket.” Därefter tar man bort 2 underkulor. Så småningom har man automatiserat såväl fingergreppet som tankesättet för de olika deloperationerna. Detta blir tyst kunskap i likhet med andra teknisk-mekaniska kunskaper, som att knyta skorna, skriva en bokstav eller liknande.

En del forskare anser också att de delar av hjärnan, framför allt områden i vänster frontallob, där väsentliga matematiska moduler har sitt säte, är nära förbundna med de delar som styr handens motorik. Därmed menar de att det finns neurologiska fördelar med att aktivera handen när man bygger matematiska färdigheter.

Det empiriska alternativet

Jean Piaget, pedagogisk forskare, och filosofen P. Kitchner menar att alla föreställningar och begrepp är härledda ur sinneserfarenheter. Att abstrakta föreställningar byggs upp genom generaliseringar av många enskilda erfarenheter. Att arbeta på abakusen ligger väl i linje med detta synsätt.

Omvandling av enheter är ett problem för många.

Genom att så småningom koppla abakusen till längd-, volym och viktenheter kan man på ett enkelt och handfast sätt lära sig omvandla enheter, förstå de matematiska prefixen, decimaltecknets funktion, procent mm.

Multiplikation

Abakusen är ett utmärkt pedagogiskt verktyg för att förstå hur multiplikation egentligen är upprepad addition.

Algoritmer

Genom att koppla inlärning av algoritmer till arbetssättet på abakusen lär sig eleven lättare att förstå funktionen hos algoritmerna.

Abakusräkning i praktisk undervisning – Finn din matteglädje!

För vem passar det att träna abakusräkning?

Bäst är att börja vid tidig ålder. 4-12 år brukar räknas om optimalt i de länder där abakusen har använts under lång tid. Den passar dock för barn såväl som ungdomar och vuxna som vill utveckla sin matematiska förmåga. Abakusen är ett utmärkt sätt för elever, som misslyckats med matten, att övervinna sitt motstånd och hitta matteglädjen.

Eftersom arbetssättet bygger en väl förankrad uppfattning kring grundläggande matematiska begrepp som utgör basen för den senare utvecklingen, får elever som möter detta i de tidiga skolåren bättre förutsättningar att lyckas.

Jag som skriver detta har under lång tid tillämpat och utvecklat detta arbetssätt med ungdomar och vuxna som har stora matematiksvårigheter och många gånger även läs- och skrivsvårigheter. Jag har sett de enastående resultat som arbetet haft och därför har jag nu samlat mitt material i form av ett läromedel bestående av arbetsblad/elevhäfte med uppgifter och abakusar i två olika storlekar. För att ge varje elev möjlighet att gå fram i sin egen takt finns övningarna som videofilmer där eleven kan se hur man arbetar.

Olika faser i arbetssättet

Inledning – legenden om matematikens födelse

Som nämnts ovan är det fördelaktigt att börja med de första delarna av materialet på förskola eller lågstadium. Man bör inte starta direkt med tillämpning av abakusträning, utan att först ha gått igenom “Boken om Matte”. Här har jag vävt ihop några av de skeden som matematiken genomgått till en saga. Genom att berätta denna för eleverna och iaktta om de kan tillämpa de olika uppgifter som presenteras, försäkrar man sig om att de har förstått den grundläggande kopplingen mellan antal och siffror samt positionssystemets funktion. Vidare introduceras också nollan och dess funktion.

Börja räkna på abakusen

När man försäkrat sig om att eleverna har grepp om de föregående stegen är det dags att introducera abakusen. Vi börjar med att lära oss räkna till 20. På så vis ser eleven hur en kula kan representera 1 ( en underkula på entalsraden), 5 ( en överkula på entalsraden) eller 10 ( en underkula på tiotalsraden).

Under den första tiden ägnar man sig sedan åt additioner med ensiffriga tal. På så sätt får eleven en god känsla för hur vi delar upp talen upp till 10 i delmängder, hur dessa känns i ”tumme-pekfingergreppet”. Vidare bygger också eleven insikten om hur addition och subtraktion hänger samman. Även då använder vi fingerräkning på så sätt att när vi exempelvis ska räkna talet 3+4, görs detta genom att vi för upp 3 ”underkulor” med tummen och sedan drar ner (aktiverar) en överkula med pekfingret. Överkulan representerar 5 underkulor. Eleven lägger upp en hand och visar 5 fingrar och säger ”Jag har lagt dit 5 men skulle lägga på 4 (varvid han skiljer ut 4 fingrar). Då har jag lagt på 1 för mycket”. Eleven drar bort en underkula. Aktiva är då 1 överkula och 2 underkulor, dvs 5+2. Eleven avläser sedan resultatet ”7”.

Nästa steg är så additioner med tiotalsövergångar. Här lär sig eleven först den ”omständliga vägen” att addera på abakusen. Exempelvis additionen 7+4. Eleven bestämmer sig först hur många kulor han ska aktivera genom att titta och sedan helst med en samtidig rörelse av tumme och pekfinger aktivera 1 överkula och 2 underkulor (5+2). Därefter ska eleven lägga på 4. Eftersom det bara finns 5 kulor på den nedre raden och han redan använt 2, måste han lägga till 4 genom att dra ner ytterligare en överkula (5) och ta bort 1 underkula (5-1=4). Eleven har nu 2 överkulor (5+5) som kan växlas mot en underkula i spalten direkt till vänster (=10). Eleven säger: ”Jag växlar 2 femmor (och för upp dessa) mot en tia (varvid eleven för upp en ”10-kula”). Eleven läser sedan av resultatet: 1 tiokula samt 1 kula, vilket ger 11. En stor vinst med grundläggande matematikundervisning via abakusräkning är att man alltid betraktar siffran kopplat till dess placering i positionssystemet. En annan fördel är att eleven både ser, gör och hör sig själv säga vad han gör. På så vis förankras den grundläggande förståelsen på många plan samtidigt. I min undervisning möter jag elever som har matematiska svårigheter på såväl visuellt som språkligt plan. Att då samtidigt förstärka inlärningen motoriskt brukar vara ett sätt att komma runt detta problem och så småningom ”flytta in kulorna i huvudet”, som en elev uttryckte det.

När eleven automatiserat växlingarna ”den omständliga vägen” brukar de sedan av sig själva komma på att man kan gå en genväg och utföra en del av operationen i huvudet. De kommer då på att man kan utföra additionen 7+4 genom att istället lägga till en tio-kula. De lägger upp båda händerna och säger: ”Jag har lagt till 10 men skulle lägga till 4”. (Samtidigt skiljer de ut 4 fingrar.) ”Då har jag lagt till 6 för mycket”. De tar bort en 5-kula + en 1-kula. De har alltså utfört operationen ”7+4” genom att ändra den till ”7+10-6”. För att automatisera de här operationerna bör man arbeta en 15-20 minuter om dagen på abakusen under 1-2 månader. Det är naturligtvis individuellt hur snabbt man når ”fulländning”. Eftersom materialet finns som filmer är det dock goda möjligheter att variera.

Det är också bra om eleverna får konstruera egna övningsexempel och inte nöjer sig med det material som finns.

Nästa del är subtraktion.

Även här utvecklar eleven förmågan genom att först gå ”den omständliga vägen” via vad jag kallar för ”bakåtväxling”, vilket i själva verket är ”lånet” i subtraktionsalgoritmen. Om jag exempelvis ska utföra 10-7, gör eleven detta genom att först föra upp en underkula på andra spalten att sedan säga: ”Jag baklängesväxlar 1 tia (för ner/tar bort underkulan) till 2 femmor” (för ner/aktiverar 2 femmor). Vidare: ”Jag baklängesväxlar en femma till fem ettor”). Nu har eleven sätt tre olika sätt att visa talet 10 dvs som 10, 5+5 eller 5+1+1+1+1+1. Nu är det enkelt att ta bort 7. Eleven beslutar hur mycket han ska ta bort och för sedan med en rörelse av tumme och pekfinger bort 2 underkulor och  den enda överkulan och avläser sedan resultatet ”3”. När denna nivå är avklarad följer sedan mer avancerade addition och subtraktion.

Enheter och decimaltal

Därefter kopplas så elevens kunskaper kring abakusen till längd, volym och viktenheter. Även här kopplas kroppsliga och rumsliga upplevelser till matematikutvecklingen. Nu börjar entalsspalten att ”flyta” , eftersom vi behöver enheter som är mindre än ett. Därmed tas nästa steg i symboliken.

De matematiska prefixen ”deci”, ”centi”, ”milli”, och om så behövs även ”mikro”, skrivs på en tejp som fästs ovanför de aktuella spalterna och abakusen används nu som stöd för uträkningar och omvandlingar. Om eleven arbetat under tillräckligt lång tid för att bli riktigt säker på tiotalsövergångar i addition och subtraktion med ental och större, är det nu lätt att förstå decimaltalen och prefixens betydelse och funktion.
Additions- och subtraktionsalgoritmerna
Algoritmernas användning kan också med fördel kopplas till hur man gör uträkningen på abakusen. Istället för att inlärandet av algoritmen blir ett sätt att ”flytta siffror på ett papper enligt ett visst mönster”, förstår eleven genom erfarenheterna från abakusen algoritmens funktion på djupet. Eleven förstår exempelvis bättre funktionen av minnessiffror och lån. Som nämnts ovan åskådliggör man med fördel också multiplikationens idé på abakusen.

Sammanfattningsvis kan man säga att erfarenheterna från användningen av arbetssättet så här långt är mycket lovande. Jag har själv använt det med ungdomar, barn och vuxna samt en årskurs 5 för många år sedan. Jag har även arbetat som speciallärare på ett gymnasium där jag jobbat med abakusräkning tillsammans med en grupp omvårdnadselever som tyckte att medicinmatematiken är svår. Framför allt ställde omvandlingar till problem för dessa elever. Så här långt är även dessa erfarenheter mycket positiva.

Överspridningseffekt av abakusträning

Den första effekten är bättre numerisk minne. Den andra är bättre visiospatialt minne. Den tredje är bättre förmåga i allmänhet att lösa matematiska problem, inklusive de fyra grundläggande aritmetiska beräkningarna och lästal.

Den första effekten, förbättring av numeriska minne kan visas genom att be elever komma ihåg tre till niosiffriga tal som de får upplästa och sedan ska upprepa. De elever som tränat abakus var överlägsna i korrekt antal siffror som de kan memorera jämfört med ”icke-abakus” elever i samma ålder. Detta beror på abakus- studenter placerar siffrorna på abakusbilden i sitt inre på samma sätt som när de räknar mental abakus. Återgivningen av numren är säker så länge som det antal siffror som ska kommas ihåg inte överskrider gränsen för den mentala bilden av abakusen. Genom att utnyttja den inre bilden av abakusen klarar också eleverna att ur minnet återge siffrorna baklänges. Detta är möjligt tack vare att de tillämpar de metoder som används vid mental abakusträning.
Den andra positiva effekten är förbättring av visio-spatialt minne. Detta undersöktes genom att låta elever ta bort en rad små svarta pricka. Prickarna placerades på olika skärningspunkter av kvadrater som gjorts med 3 till 5 rader i både vertikal och horisontell riktning. Studenterna såg först på dessa punkter i några sekunder för att memorera deras plats, och sedan ombads de att återskapa samma bild genom att placera svarta prickar på blanka rutor. De elever som tränat abakus fick högre poäng än ”icke-abakus” elever. Den rumsliga placeringen av prickarna har inte samma numeriska värden som kulorna på abakusen, men vi kan spekulera om att träningen för att få en tydlig inre bild av abakusen hade till följd att eleverna blev bättre på att registrera och minnas lägen av föremål i rummet.

Lättare att lösa matematiska problem
Följande tre punkter bekräfta effekterna av abakusträning för att lösa matematiska problem.

Resultaten från en undersökning med tredjeklasstudenter visar att ungefär ett års abakusstudier gör det möjligt för studerande att nå högre poäng än ”icke-abakuselever” på vissa matematiska problem. Dessa matematiska problem är addition av ett tvåsiffrigt tal, multiplikation av ett tvåsiffrigt tal, addition av flersiffriga tal, subtraktion av flersiffriga tal, ”lästal” medi addition och subtraktion och ”fyll i det tomma utrymmet” problem (t.ex. vilket tal saknas i följande ekvation: [ ] -7 = 27. Man kan se till och med nybörjare vad gäller abakus kunde dra nytta av överspridningseffekterna som abakusträningen hade. Man kan anta att deras höga automatiseringsgrad när det gäller enklare beräkningar avlastade de högre neurala systemen och gjorde att de också klarade ”lästal” bättre än ”icke-abakus” studenter. Det konstaterades dock ingen skillnad när det gällde förmågan att lösa problem som krävde abstrakt tänkande.

På en högre nivå fann man att abakusstuderande var bättre än icke-abakusanvändare på att lösa vissa typer av matematiska problem. Ett exempel på sådana problem är att jämföra storleken på siffrorna (dvs ställa följande fem nummer i ordning: 0.42, 12, 3,73, 0,95, 10,1), beräkning av tal där flervalslösningar fanns, (dvs. välja det rätta svaret från fem val av förslag till lösningar för exempelvis 1026,95 ÷ 103,1), och ”lästal”. Dessutom sågs en positiv effekt, inte bara i matematiska problem med heltal och decimaler, utan även hos dem med bråk, särskilt när högre tänkande krävs för att lösa dem.
I abakus träning, berör man inte in bråkräkning, men en överspridningseffekt blir att även problemlösning med bråk underlättas. Abakuseleverna visar sig oftast ha omvandlat bråken till decimaler, för att lösa bråkproblem. De försökte lösa problemen genom att helt enkelt ändra talen till den form de förstod bäst.
Som nämnts ovan, tenderar abakuselever ofta att försöka lösa problem i en form där de kan utnyttja sina kunskaper i abakusberäkningen, när de konfronteras med olika matematiska problem.

Abakusträning ger många fördelar

Baserat på resultaten som nämns ovan, kan man se några förmågor som byggs upp. Studerande lär sig beräkna enkla matematiska problem snabbt och korrekt. Dessutom bygger de upp förmågan att använda bilden av en inre abakus bilden när de räknar. Det ger dem möjligheten till snabb beräkning utan att faktiskt använda en fysisk abakus.