"En
mycket bra och väl genomförd kurs, man var aktiv hela tiden men
tiden gick alldeles för fort.
"Ett jättestort tack för en fantastisk dag"
AC - högskolelektor i matematik
"Roligt att lära något så radikalt nytt efter så
många år i skolan" ML - specialpedagog mellanstadiet
"Den här metoden passar förmodligen alldeles
utmärkt till en av mina nuvarande elever som fortfarande räknar på
fingrarna och inte kan ta till sig några skriftliga räknemetoder."
LN - lärare åk 4-5
”Det är som om kulorna har kommit in i mitt huvud!”
Så säger en kvinnlig elev som haft mycket
svårt att klara grundskolans matematik och därför tillbringat två
terminer på Individuella programmet. När hon till slut fick
möjlighet att lära sig abakusen och använda det nya läromedlet ”Finn
din matteglädje!” intensivt under 6 veckor utvecklades hennes
matematiska förmåga så bra att hon kunde klara hela grundskolans
kurs på 13 veckor.
Vad är det då som är så fantastiskt med abakusen.
·man befäster viktiga delar av grundläggande taluppfattning.
·man utvecklar förmågan att se inre bilder. Elever som ofta
tränar på abakus kan uppleva att de kan se kulorna för sitt ”inre”
öga.Man kan uppleva att
man räknar på en ”virtuell räkneram” genom att bara röra fingrarna
på samma sätt som om man hade en riktig abakus.
·Problem med kropps- och rumsuppfattning samt motoriska
svårigheter är något som många elever med matematiksvårigheter
uppvisar. Det kan exempelvis ta sig uttryck i att man har svårt med
riktningar och lägesplaceringar. Således blir det svårt att uppleva
platsvärden, tallinjen och andra grundläggande begrepp. Det kan även
resultera i omkastningar och/eller spegelvändningar av siffror och
bokstäver
·abakusen utvecklar således visuell, spatial och
som motorisk förmåga dvs ”högerhjärneaktiviteter”, samtidigt som den
aktiverar ”vänsterhjärneförmågor” som matematisk-, logisk- och
språklig kompetens.
·Abakusen engagerar flera sinnen. På så vis är man
garanterad att undervisningen når in via elevens starkaste kanal
samtidigt som de svagare tränas.
·Eleven betraktar alltid siffran kopplad till dess
platsvärde. Därmed grundläggs en djupgående förståelse för
decimalsystemets funktion.
·Många elever har svårt att automatisera tabellkunskaper på
traditionellt sätt. En orsak till detta kan vara att man har
språkliga svagheter. När du räknar på abakus aktiveras också
”muskelminnen.” På så vis ges dessa elever en alternativ möjlighet
att nål dessa färdigheter.
·Huvudräkningsförmågan utvecklas.
Släpp fångarna loss! - Algoritmen stänger in tänkandet
När vi räknar med hjälp av algoritmer börjar vi från höger med
entalen. När vi räknar på abakusen och när vi språkligt uttrycker
tal börjar i stället från vänster.
När vi räknar talet ”123+245”
på abakusen börjar vi med 1 hundratal plus 2 hundra tal vilket ger 3
hundratal. Sedan tänker vi 2 tiotal plus 4 tiotal vilket ger 6
tiotal. Till slut 3 ental plus 5 ental vilket ger 8 ental. När vi
läser av summan börjar vi från vänster och summerar
3 hundra(tal)sex-tio(tal)8(ental).
Man lär sig således tänka på
siffrornas platsvärden i samma ordning som de representeras i talet.
På så vis blir det lättare för eleven att utveckla den språkliga
förståelsen för matematiken.
Abakusen utvecklar huvudräkningen
Abakusen ger också bättre förutsättningar att utveckla effektiv
huvudräkning. Många människor försöker se algoritmen i sitt inre när
de ska huvudräkna. Detta tankesätt belastar arbetsminnet i allt för
hög grad och är således en ineffektiv metod.
Abakusräkning ger betydligt bättre redskap för att utveckla effektiv
huvudräkning. Eleven kan in sitt inre se och även med fingrarna
känna de ”virtuella kulorna”
Matematikproblem bottnar ofta i brister kring grundläggande
taluppfattning.
Inom traditionell pedagogik läggs mycket kraft på att öva
tabellkunskaper. Automatiserade tabellkunskaper anses av många
pedagoger vara kungsvägen till att utveckla högre matematiska
färdigheter.
Begreppet grundläggande taluppfattning innehåller dock många olika
delar. Bara för att man exempelvis lärt sig att säga att 6 och 4 är
tiokamrater är det inte säkert att man egentligen har förstått vad
detta innebär. Eller bara för att man lärt sig ställa upp en
algoritm, är det inte säkert att man verkligen har förstått vad man
gör. Man kan klara detta genom att lära sig flytta siffror enligt
ett visst mönster.
En egenskap som anses tillhöra grundläggandetaluppfattning är att förstå att en siffra kan symbolisera
ett antal, ett ordningstal, ett mått, en beteckning på något etc.För att verkligen
förstå att en siffra kan symbolisera ett antal måste man också
förstå siffrornas platsvärden. Om man inte har gjort det kan
man, som jag har stött på i undervisningen, tolka talet ”55” som ”10”, det vill säga eleven har inte förstått att
femman till vänster representerar 5 tiotal. Således tolkar han ”55” som ”5+5” ental.När man räknar på abakus pratar man till en början högt med
sig själv och uttrycker klart vad man gör. Även tiotalsövergångar
blir tydliga genom ”växling”.
Vidare hjälper abakusen eleven att ta steget från det konkreta till
talsymboliken
genom att han lär sig förstå hur en kula på abakusen ”byter
innehåll” beroende på om den står under mittbalken, då den
representerar 1, 10, 100…etc eller ovanför mittbalken, då kulan
representerar 5, 50, 500…etc
Matematisk förmåga är beroende av god rumslig medvetenhet
För att kunna utveckla en god matematisk förmåga måste man vara säker
på rumsliga riktningar och lägen. I annat fall kan man få svårt att
grundlägga förståelsen för siffornas platsvärden och även tallinjens
koppling till räknesätten. I arbetet med abakusen används
fingermotoriken som också kopplas till språkliga begrepp. Därmed
tränas även kropps- och rumsuppfattningen. På så vis utvecklas även
förmågor som i sin tur ligger till grund för att kunna lära sig
andra sekventiella kunskaper som exempelvis veckans dagar,
månaderna, årstiderna, alfabetet, klockan etc.
Komplementära tal och talgestalter
En annan insikt som räknas till grundläggande taluppfattning är
förmågan att dela upp talen
upp till 10 i delmängder.(Exempel 6= 1+5, 2+4, 3+3) När man räknar på abakusen lär man
sig att se och också känna dessa delmängder. När man exempelvis ska
lägga talet ”8”, bestämmer man först
vilka delmängder som ska ingå, sedan tittar man var man ska sätta
tumme (för att föra upp rätt antal underkulor) och pekfingret (för
att föra ner överkulan). Man utför sedan en samtidig rörelse med
tumme och pekfinger där man lägger 3+5.
Efter en tids övning går detta
automatiskt och elever som varit vana att räkna addition och
subtraktion på fingrarna (ett finger i taget) , brukar sluta med
detta då de lärt sig uppleva en ”talgestalt” både motoriskt och
visuellt. Detta stärker också en av de mest grundläggande
matematiska förmågorna vi har, nämligen förmågan till subitisering
dvs. förmågan att i en blink se talgestalter upp till 5 eller 6
enheter.
Att lära sig se sambandet mellan addition och subtraktion
När man räknar addition på abakus använder man samtidigt subtraktion
och vise versa. När man exempelvis ska räkna ut 4+3 lägger man upp
fyra entals”underkulor”. Man ska sedan lägga till 3. På den undre
raden finns nu bara 1 entalskula kvar. Således för man istället till
en överkula som representerar 5 (underkulor).Man skulle lägga till ”3”
och har således lagt till 2 för mycket. Man tar då bort 2 underkulor
(ental) och får 5+2 =7 kulor på entalsraden kvar.
Tillvägagångssättet brukar upplevas krångligt till att börja med,
men efter en tids övning automatiseras delmängderna i talen och även
tankesättet att dela upp proceduren i små deloperationer. Att dela
upp operationerna i delmängder underlättar också utvecklandet av
effektiva huvudräkningsstrategier som inte belastar arbetsminnet för
mycket.
Hjärnans topografi stöder fingerräkning.
Till att börja med kan det vara effektivt att illustrera delmängderna
och ”subtraktion vid addition” genom att använda fingerräkning. När
man som i exemplet ovan lägger till 3 genom att lägga till 5 och ta
bort 2, kan man ta stöd i fingerräkning. När man lägger på 5 kan man
illustrera detta för sig själv genom att lägga upp ena handen och
sedan dela upp 5 i delmängderna 3+2 genom att ta tag i tre av
fingrarna och säga: ”Jag skulle lägga till 3. Då har jag lagt till 2
för mycket.” Därefter tar man bort 2 underkulor. Så småningom har
man automatiserat såväl fingergreppet som tankesättet för de olika
deloperationerna. Detta blir ”tyst kunskap” i likhet med andra
teknisk-mekaniska kunskaper, som att knyta skorna, skriva en bokstav
eller liknande.
En del forskare anser också att de delar av hjärnan, framför allt
områden i vänster frontallob, där väsentliga ”matematiska moduler”
har sitt säte, är nära förbundna med de delar som styr handens
motorik. Därmed menar de att det finns neurologiska fördelar med att
aktivera handen när man bygger matematiska färdigheter.
Det empiriska alternativet
Jean Piaget, pedagogisk forskare, och filosofen P. Kitchner menar att
alla föreställningar och begrepp är härledda ur sinneserfarenheter.
Att abstrakta föreställningar byggs upp genom generaliseringar av
många enskilda erfarenheter. Att arbeta på abakusen ligger väl i
linje med detta synsätt.
Omvandling av enheter är ett problem för många.
Genom att så småningom koppla abakusen till längd-, volym och
viktenheter kan man på ett enkelt och handfast sätt lära sig
omvandla enheter, förstå de matematiska prefixen, decimaltecknets
funktion, procent mm.
Multiplikation
Abakusen är ett utmärkt pedagogiskt verktyg för att förstå hur
multiplikation egentligen är upprepad addition.
Algoritmer
Genom att koppla inlärning av algoritmer till arbetssättet på abakusen
lär sig eleven lättare att förstå funktionen hos algoritmerna.
Abakusräkning i praktisk undervisning – Finn din matteglädje!
För vem passar det att träna abakusräkning?
Bäst är att börja vid tidig ålder. 4-12 år brukar räknas om optimalt i
de länder där abakusen har använts under lång tid. Den passar dock
för barn såväl som ungdomar och vuxna som vill utveckla sin
matematiska förmåga. Abakusen är ett utmärkt sätt för elever, som
misslyckats med matten, att övervinna sitt motstånd och hitta
matteglädjen.
Eftersom arbetssättet bygger en väl förankrad uppfattning kring
grundläggande matematiska begrepp som utgör basen för den senare
utvecklingen, får elever som möter detta i de tidiga skolåren,
bättre förutsättningar att lyckas.
Jag som skriver detta har under lång tid tillämpat och utvecklat detta
arbetssätt med ungdomar och vuxna som har stora matematiksvårigheter
(och många gånger även läs- och skrivsvårigheter). Jag har sett de
enastående resultat som arbetet haft och därför har jag nu samlat
mitt material i form av ett läromedel bestående av
arbetsblad/elevhäfte med uppgifter och abakusar i två olika
storlekar. För att ge varje elev möjlighet att gå fram i sin egen
takt finns övningarna dokumenterade som videofilmer där eleven kan
se hur man arbetar. Videofilmerna är i Flashformat och är anpassade
att läggas upp som en hemsida på en server så att eleverna kan nå
den från vilken dator som helst.
Olika faser i arbetssättet
Inledning – legenden om matematikens födelse
Som nämnts ovan är det fördelaktigt att börja med de första delarna av
materialet på förskola eller lågstadium. Man bör inte starta direkt
med tillämpning av abakusträning, utan att först ha gått igenom
”Legenden om matematikens födelse.”Här har jag vävt ihop några av de skeden som matematiken
genomgått till en saga eller legend. Genom att berätta denna för
eleverna och iaktta om de kan tillämpa de olika uppgifter som
presentas, försäkrar man sig om att de har förstått den
grundläggande kopplingen mellan antal och siffror samt
positionssystemets funktion. Vidare introduceras också nollan och
dess funktion.
Börja räkna på abakusen
När
man försäkrat sig om att eleverna har grepp om de föregående stegen
är det dags att introducera abakusen. Vi börjar med att lära oss
räkna till 20. På så vis ser eleven hur en kula kan representera 1 (
en underkula på entalsraden), 5 ( en överkula på entalsraden) eller
10 ( en underkula på tiotalsraden).
Under den första tiden ägnar man
sig sedan åt additioner med ensiffriga tal. På så sätt får eleven en
god känsla för hur vi delar upp talen upp till 10 i delmängder, hur
dessa känns i ”tumme-pekfingergreppet”. Vidare bygger också eleven
insikten om hur addition och subtraktion hänger samman. Även då
använder vi fingerräkning på så sätt att när vi exempelvis ska räkna
talet 3+4, görs detta genom att vi för upp 3 ”underkulor” med tummen
och sedan drar ner (aktiverar) en överkula med pekfingret. Överkulan
representerar 5 underkulor. Eleven lägger upp en hand och visar 5
fingrar och säger ”Jag har lagt dit 5 men skulle lägga på 4 (varvid
han skiljer ut 4 fingrar). Då har jag lagt på 1 för mycket”. Eleven
drar bort en underkula. Aktiva är då 1 överkula och 2 underkulor,
dvs 5+2. Eleven avläser sedan resultatet ”7”.
Nästa steg är så additioner med tiotalsövergångar. Här lär sig eleven
först den ”omständliga vägen” att addera på abakusen. Exempelvis
additionen 7+4. Eleven bestämmer sig först hur många kulor han ska
aktivera genom att titta och sedan helst med en samtidig rörelse av
tumme och pekfinger aktivera 1 överkula och 2 underkulor (5+2).
Därefter ska eleven lägga på 4. Eftersom det bara finns 5 kulor på
den nedre raden och han redan använt 2, måste han lägga till 4 genom
att dra ner ytterligare en överkula (5) och ta bort 1 underkula
(5-1=4). Eleven har nu 2 överkulor (5+5) som kan växlas mot en
underkula i spalten direkt till vänster (=10). Eleven säger: ”Jag
växlar 2 femmor (och för upp dessa) mot en tia (varvid eleven för
upp en ”10-kula”). Eleven läser sedan av resultatet: 1 tiokula samt
1 kula, vilket ger 11. En stor vinst med grundläggande
matematikundervisning via abakusräkning är att man alltid betraktar
siffran kopplat till dess placering i positionssystemet. En annan
fördel är att eleven både ser, gör och hör sig själv säga vad han
gör. På så vis förankras den grundläggande förståelsen på många plan
samtidigt. I min undervisning möter jag elever som har matematiska
svårigheter på såväl visuellt som språkligt plan. Att då samtidigt
förstärka inlärningen motoriskt brukar vara ett sätt att komma runt
detta problem och så småningom ”flytta in kulorna i huvudet”, som en
elev uttryckte det.
När eleven automatiserat växlingarna ”den omständliga vägen” brukar de
sedan av sig själva komma på att man kan gå en genväg och utföra en
del av operationen i huvudet. De kommer då på att man kan utföra
additionen 7+4 genom att istället lägga till en tio-kula. De lägger
upp båda händerna och säger: ”Jag har lagt till 10 men skulle lägga
till 4”. (Samtidigt skiljer de ut 4 fingrar.) ”Då har jag lagt till
6 för mycket”. De tar bort en 5-kula + en 1-kula. De har alltså
utfört operationen ”7+4” genom att ändra den till ”7+10-6”. För att
automatisera de här operationerna bör man arbeta en 15-20 minuter om
dagen på abakusen under 1-2 månader. Det är naturligtvis
individuellt hur snabbt man når ”fulländning”. Eftersom materialet
finns som filmer är det dock goda möjligheter att variera.
Det är också bra om eleverna får konstruera egna övningsexempel och
inte nöjer sig med det material som finns.
Nästa del är subtraktion.
Även här utvecklar eleven förmågan genom att först gå ”den omständliga
vägen” via vad jag kallar för ”bakåtväxling”, vilket i själva verket
är ”lånet” i subtraktionsalgoritmen. Om jag exempelvis ska utföra
10-7, gör eleven detta genom att först föra upp en underkula på
andra spalten att sedan säga: ”Jag baklängesväxlar 1 tia (för
ner/tar bort underkulan) till 2 femmor” (för ner/aktiverar 2
femmor). Vidare: ”Jag baklängesväxlar en femma till fem ettor”). Nu
har eleven sätt tre olika sätt att visa talet 10 dvs som 10, 5+5
eller 5+1+1+1+1+1. Nu är det enkelt att ta bort 7. Eleven beslutar
hur mycket han ska ta bort och för sedan med en rörelse av tumme och
pekfinger bort 2 underkulor ochden enda överkulan och avläser sedan resultatet ”3”. När
denna nivå är avklarad följer sedan mer avancerade addition och
subtraktion.
Enheter och decimaltal
Därefter kopplas så elevens kunskaper kring abakusen till längd, volym
och viktenheter. Även här kopplas kroppsliga och rumsliga
upplevelser till matematikutvecklingen. Nu börjar entalsspalten att
”flyta” , eftersom vi behöver enheter som är mindre än ett. Därmed
tas nästa steg i symboliken.
De matematiska prefixen ”deci”, ”centi”, ”milli”, och om så behövs även
”mikro”, skrivs på en tejp som fästs ovanför de aktuella spalterna
och abakusen används nu som stöd för uträkningar och omvandlingar.
Om eleven arbetat under tillräckligt lång tid för att bli riktigt
säker på tiotalsövergångar i addition och subtraktion med ental och
större, är det nu lätt att förstå decimaltalen och prefixens
betydelse och funktion.
Additions- och subtraktionsalgoritmerna
Algoritmernas användning kan också med fördel kopplas till hur man gör
uträkningen på abakusen. Istället för att inlärandet av algoritmen
blir ett sätt att ”flytta siffror på ett papper enligt ett visst
mönster”, förstår eleven genom erfarenheterna från abakusen
algoritmens funktion på djupet. Eleven förstår exempelvis bättre
funktionen av minnessiffror och lån. Som nämnts ovan åskådliggör man
med fördel också multiplikationens idé på abakusen.
Sammanfattningsvis kan man säga att erfarenheterna från användningen av
arbetssättet så här långt är mycket lovande. Jag har själv använt
det med ungdomar, barn och vuxna samt en årskurs 5 för många år
sedan. Just nu arbetar jag även som speciallärare på ett gymnasium
där jag jobbar med abakusräkning tillsammans med en grupp
omvårdnadselever som tycker att medicinmatematiken är svår. Framför
allt ställer omvandlingar till problem för dessa elever. Så här
långt är även dessa erfarenheter mycket positiva.
Matematiska svårigheter av den graden att man skulle kunna kalla det
för dyskalkyli förekommer ofta tillsammans med läs- och
skrivsvårigheter/dyslexi, speciellt om det finns svårigheter med rumsuppfattning
och/eller motoriska problem.
Vanliga tecken på mattesvårigheter (ev dyskalkyli) kan vara att man
- har svårt att lära sig tabeller utantill
- att man räknar på fingrarna
- har svårt att veta hur mycket pengar man ska ha tillbaka i affären
- svårt med decimaltal och omvandlingar av enheter
- svårt att lära sig klockan
-osäkerhet kring riktningar
- svårt med tidsuppfattning
- svårt att planera och organisera
Jag använder mig av ett egetutvecklat,
datoriserat test samt Björn Adlers material för utredningen. I
utredningen får du reda på hur svårigheterna och även styrkorna
fördelar sig. Utredningen ger ett bra underlag för planering av
träningsåtgärder. Om du vill handleder jag dig som förälder eller
lärare i arbetet. Vi använder bland annat materialet Finn din
matteglädje!
Du har kanske hört talas om användningen av kulram eller soroban i
vissa länder och de imponerande matematiska kunskaper som
abakusträning kan ge. Denna app erbjuder möjligheten att utveckla
dessa färdigheter.
EAS omdöme:
Vi har inte sett mycket av abakusanvändning i brittiska skolor, men
denna ligger till grund för helt fenomenala aritmetiska färdigheter
i andra delar av världen. Kanske kan abakusen vara något du vill
presentera för din skola eller ditt barn. Det är lätt att förstå hur
abakusen fungerar. Med lite övning kan den användas för att göra
beräkningar och synliggöra av aritmetiska processer.
Med lite mer övning kan man till och med lära sig använda en inre,
mental bild av abakusen. På denna inre, mentala abakus kan
användaren lära sig räkna snabbare än en miniräknare. Bara små
fingerrörelser antyder att användaren utnyttjar en mental abakus för
beräkningarna.
I länder som verkligen uppskattar abakusen är användningen av den är
en del i läroplanen. Hur kan då vi som inte känner till abakusen
lära känna detta verktyg och introducera våra studenter och barn i
detta? Ironiskt nog för detta effektiva, men klart lågteknologiska
verktyg, finns en lösning i den högteknologiska världen av program.
En sådan är appen Mental Abacus Expert. Appen ger vem som helst
möjligheten att börja lära sig och så småningom behärska den mentala
abakusen.
Appen innehåller allt du behöver för att lära sig. De fyra
omfattande övningstyperna har instruktionsfilmer som stöd.
Användarna lär sig uppfatta och tolka siffrorna på abakusen innan de
går vidare till att göra beräkningar. Övningarna ger möjlighet för
användaren att lära sig använda så väl en fysisk som en mental
abakus för att göra uträkningar. I den fjärde övningstypen kan
användaren träna på liknande sätt som deltagare i mentala
abakustävlingar gör. Här ger också appen talade instruktioner.
Förutom övningarna finns också en inbyggd abakus som lärare,
föräldrar eller elever kan använda för andra beräkningar.
Appen har lättförståeliga skrivna instruktioner. Det finns också en
avdelning med välgjorda videofilmer. Dessa öppnas i YouTube. Det gör
att du måste ha internetuppkoppling för att kunna se dem. Inga andra
delar av appen kräver uppkoppling. Man kan välja på två abakustyper
i appen. En klassisk 5+2 och den modernare 4+1.
Övningarnas svårighetsgrad kan anpassas till användarens förmåga.
Stegvis kan utmaningen ökas.
Appen är enkel att använda och visar abakusens funktion tydligt. Du
trycker bara till på kulorna för att flytta dem.
Appen når mycket väl upp till sina mål och är trevlig att använda.
Appen ger användarna möjlighet att gradvis utveckla sina
färdigheter. Precis som vilken färdighet som helst krävs det övning
för att utvecklas. Med regelbunden träning med hjälp av appen har
användaren möjlighet att nå höga kunskapsmål.
Föräldrar som vill ha ett kul och utvecklade matteprojekt med sina
barn, lärare som vill ge möjlighet till annorlunda överkursuppgifter
eller matematiskt intresserade elever som vill utveckla imponerande
mattefärdigheter, kan använda denna app.